求数集聚点是一个既简单又复杂的问题。简单之处在于，如果只要求出任意聚点，那就很简单。复杂之处在于，如果要证明只有有限个聚点，那就没那么容易了。比如下面这道例题，分成两个部分，前面部分要求出两个聚点就相当简单，后面部分要求证明只有两个聚点，就相当复杂。
验证：数集{(-1)^n+ 1/n}有且只有两个聚点ξ1=-1, ξ2=1.
证：记Sn=(-1)^n+ 1/n；则lim(k→∞)S_(2k)=lim(k→∞)((-1)^2k+1/(2k))=1.【为了描述方便，把数集记成点列Sn的形式，其中偶数项形成的数列就以1为极限】
lim(k→∞)S_(2k-1)=lim(k→∞) ((-1)^(2k-1)+1/(2k-1))=-1.【奇数项形成的数列又以-1为极限】
由聚点的定价定义2知，±1是{Sn}的聚点. 【这里也可以看出，聚点不一定是极限。接下来证明±1是sn仅有的两个聚点】
设ξ0是不同于±1的聚点，则取ε0= 1/2*min[|ξ0-1|, |ξ0+1|],【就是使ξ0的ε0开邻恰好与±1的ε0开邻域没有交集，或者它们的闭邻域的交集最多只有一个点，就是±1中的一个与ξ0的中点，高数极限方面的知识，很大程度就看取这个伊普西龙的能力】
则存在N=1/ε0 , 当n=2k>N时，1-ε0<(-1)^n+1/n<1+ε0, 【即几乎所有偶数项都在U(1,ε0）】
当n=2k-1>N时，-1-ε0<(-1)^n+1/n<-1+ε0,【即几乎所有奇数项都在U(-1,ε0)】
若ξ0<-1, 则ε0= -ξ0/2- 1/2, 2ε0=-ξ0-1, ξ0+ε0=-1-ε0,【即ξ0的ε0邻域的右端点，就是-1的ε0邻域的左端点。就是说，无限多的项都在-1的邻域上，而不在ξ0的邻域内】
若-1<ξ0≤0, 则ε0=ξ0/2+ 1/2, 2ε0=ξ0+1, ξ0-ε0=-1+ε0,【即ξ0的ε0的左端点，就是-1的ε0的右端点，同样的，无限多的项都在-1的邻域上，而不在ξ0的邻域内】
若0<ξ0<1, 则ε0= 1/2- ξ0/2, 2ε0=1-ξ0, ξ0+ε0=1-ε0,【即ξ0的ε0邻域的右端点，是1的ε0的左端点，这种情况下，无限多的项都在1的邻域上，而不在ξ0的邻域内】
若ξ0≥1, 则ε0=ξ0/2- 1/2, 2ε0=ξ0-1, ξ0-ε0=1+ε0, 【即ξ0的ε0邻域的左端点是1的ε0邻域的右端点。同样的ξ0上没有无穷多项】
综上, 当n>N时, 有(-1)^n+1/n>ξ0+ε0或(-1)n+1/n<ξ0-ε0, 【实际上，前面对ξ0各个取值范围的分类讨论是可以省略的】
∴落在U(x0,ε0)至多只有有限个点，与聚点概念矛盾.【只有那些下标n<N的有限多个项在ξ0的任意邻域内】
∴数集{(-1)^n+ 1/n}有且只有两个聚点ξ1=-1, ξ2=1.
